我們討論了命題和定義，從現在開始，將討論數學的推理，正如我們在緒論中曾經討論過的，數學推理主要包括兩方面的內容：一是對基本推理的直接判斷，大部分情況下，這表現于對簡單數學命題的是否判斷；二是建立條件與結果之問的邏輯聯系，判斷條件與結果之間是否存在必然關系。那么，進行判斷以及建立條件與結果之間邏輯聯系的思維基礎是什么
呢？這是一個非常難以回答的問題，現代的學者們給出了許許多多的邏輯形式，已經達到了使人無法記憶的程度，更無法判斷這些邏輯形式的合理性。在這里，我們還是遵循形式邏輯中三個最古老的原則，批判地把這三個原則使用于數學的命題、定義和推理中。這三個原則就是：同一律、矛盾律和排中律。
同一律是指一個事物與自身同一，表示為A=A。也就是說，一個事物不能同時存在又不存在；或者說，一個事物不能同時是自身又是別的，這就要求把這個事物與不是這個事物分辨得非常清楚，但是，事物總是相對的，事物也總是變化的，就歷史發展的長河而言，同一律就顯得很僵化了，正如恩格斯在《自然辯證法》中批評的那樣：
“舊形而上學意義下的同一律是舊世界觀的基本原則：a=a。每一個事物和它自身同一。一切都是永久不變的，太陽系、星體、有機體都是如此，這個命題在每一個場合下都被自然科學一點一點駁倒了，但是在理論中它還繼續存在著，而舊事物的擁護者仍然用它來抵抗新事物：一個事物不能同時是它又是別的。……抽象的同一性，像形而上學的一切范疇一樣，
對日常應用來說是足夠的，在這里考察的只是很小的范圍或很短的時間。”
在上面的述說中，恩格斯強調一切事物甚至一切規律都不是永恒不變的，要學會辯證地分析問題，恩格斯的說法是有道理的，以我們在《圖形與圖形關系的抽象》中討論過的幾何學為例，最初人們認為歐幾里得幾何是永恒不變的真理，包括“過直線外一點能作并且只能作一條平行線”這個公理；后來人們發現也可以建立一個有無數條平行線的幾何，這便是羅巴切夫斯基幾何；再后來人們發現還可以建立沒有平行線的幾何，這便是黎曼幾何，特別須要注意的是，如果在更大的范圍內思考問題，這些幾何都有著明確的物理背景（參見《圖形與圖形關系的抽象》的討論）
但是，我們討論的數學定義和推理是從日常生活中抽象出來的，正如我們在《圖形與圖形關系的抽象》的最后部分討論的那樣，這種“抽象了的東西”是不存在的，在某種
程度上，我們可以把那些“抽象了的東西”看做一些假定，或者認為是相對真理。于是，我們在數學上仍然可以使用同一律，并且把其限制為數學同一律：如果一個集合A是確定的，那么，一個元素x或者屬于集合A或者不屬于集合A。我想特別強調的是，在我們現在的數學中只討論具有這種性質的集合，這樣，由《基本推理的基礎---推理的對象：定義》中(2)式給出的關于定義的立論根據是明確的。
矛盾律是針對推理的基本原則：一個命題P不能同時為真又為假，即P與PC不能同時成立。現有的資料表明，矛盾律最初是亞里士多德提出的，他在《形而上學》中寫道：
“但我們明確主張，事物不可能同時存在又不存在，由此我們證明了它是所有原本中最為確實的。有些人由于學養不足認為需要對此加以證明，但是他們不知道哪些應當證明哪些不應當證明，這正是學養不足的表現。”
于是，人們遵循亞里士多德的建議，把矛盾律作為不證自明的基本推理原則，眾所周知，“矛盾”一詞出于我國春秋戰國時代的一個寓言。事實上，矛盾律與人們的生活常識是一致的，就像那個寓言所述說的那樣。這個原則確實不用證明。現在，我們用《基本推理的基礎---推理的對象：命題》中(4)式的方法表示矛盾律：如果P是一個數學命題，則不存在一個集合A八字推理原則，使得A→P和A～P同時成立。可以看到，這個原則對于數學推理是非常重要的，沒有這個原則幾乎寸步難行。
排中律也是針對推理的基本原則：一個命題P不是真的就是假的，即P與PC必有一個成立。這個原則對命題的要求是非常嚴格的，在日常生活中，排中律不一定是合適的，事實上，就我國的傳統文化而言，很難接受“非此即彼”的思維模式。在日常生活中，不能肯定一件事情的時候并不意味著就要否定這件事情，比如我們曾經討論過的一些語句：
這道菜做得很辣。
完成這樣的事情是很花費時間的。
在排中律的原則下都不能成為命題，因為上述語句中的結論都是相對的：這個菜可能在“辣”與“不辣”之間；這個工作可能在“費時”與“不費時”之間，事實上，排中律也是亞里士多德在《形而上學》中提出的，他提出的時候就是猶豫不決的：
“在對立的陳述之間不允許有任何的居間者，對于一事物必須要么肯定要么否定其某一方面，……如果不是為理論而理論的話，在所有對立物之間，應當存在居間者，故一個人可能既以其為真又以其為不真。在存在與不存在之外它也將存在，在生成和消滅之外有另外某種變化。”
正如亞里士多德所說，為了理論而理論，在數學同一律的基礎上我們依然使用排中律：如果P是一個數學命題，A是一個確定的集合，那么A→P或者A→PC，二者必居其一。數學推理中經常使用的反證法所依賴的基本原理就是排中律，比如希望證明A→P，我們先假定A→PC。如果對于任何一個元素x∈A，都有x→PC成立將導致與某些事實矛盾，就可以推斷A→PC的假定是不成立的，于是根據排中律可以推斷A→P成立。下面，我們用√2是無理數的證明來說明矛盾律和排中律的作用，其中的證明參見《無理數的認識》。
用反證法證明√2是無理數，
先假設√2不是無理數，那么，√2就是有理數。根據有理數的定義，√2能夠表示為兩個整數的比，比如√2=a/b，其中a和b為整數且沒有公因數。（為證明A→P，先假定A→PC，其中A為√2，P為無理數）。
則a2=2b2，于是a2必為偶數。因為只有偶數的平方才能為偶數，所以a為偶數。因為a和b沒有公因數，a為偶數則b必為奇數。因為a為偶數，可設a=2c，其中c為整數。則a2=4c2，于是有4c2=2b2或者2c2=b2，則b2為偶數即b為偶數。b不可能又是奇數又是偶數，假設不成立。（這個結論是根據矛盾律的原則）
√2是無理數。（因為假設A→PC不成立，根據排中律只有A→P）
哥德爾
從上面的例子我們可以感悟到，在數學的證明過程中，矛盾律和排中律都是非常重要的原則，但是，也應當注意到，排中律對于命題本身的要求是非常嚴格的，我們再次回顧哥德爾于1931年發表的那篇劃時代的論文的開始部分：
“在較精確的意義上說，數學的發展已經導致它大范圍的形式化，以至于證明竟然可以依照少數幾條機械規則實現。目前，最豐富的形式系統，一個是懷特海和羅素的《數學原理》的系統，另一個是策梅羅一弗蘭克爾的公理集合論系統。這兩個系統足夠廣闊，現在數學中使用的所有證明方法都可以在系統中形式化，即都可以從幾條公理和推理規則中演繹出來，似乎可以合理地推測，這些公理和推理規則對于判定所有在系統中能夠描述的數學問題是充分的。下面將要指出的是，事情并非如此！在上述兩個系統中，存在著相對簡單的初等數論問題八字推理原則，不能在該系統中基于公理而判定。”
哥德爾在文中提到的問題就是我們曾經討論過的命題G:n在這個系統中是不可證的，其中n是語句所指派的哥德爾數，而這個語句就是G本身。很顯然，如果一個在系統中確實存在的“有意義”的命題，在這個系統中卻不能進行正確或者錯誤的判斷，那么這個事實與排中律是相悖的，哥德爾在這里至少指出了數學推理中不能忽視的卻已經被人們忽視了的兩個要點：一個要點是對于命題的判斷必須依賴于話語系統；另一個要點就是使用排中律的時候要特別小心。
在下面幾講，我們將逐步討論數學推理的話語系統。
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